איינמאל מ'פארשטייען שוין פרעקשאנס און וואס זיי זענען, לאמיר פארשטיין וויאזוי מער "רידוסט" פרעקשאנס. וואס מיינט "רידוסען"? ווי געשמועסט קען מען שרייבן דעם זעלבן פרעקשאן אויף עטליכע וועגן. צום ביישפיל צוויי קוואדערס איז סיי צוויי פערטלעך פון א דאלער (2/4) און סיי איין האלבע דאלער. וואס איז אויב מ'האט פינף דיימס? דאן איז דאס סיי 5 צענטלעך (5/10) און סיי א האלבע דאלער! והוא הדין אז מ'האט 10 ניקלעך, דאן האט מען 10 צוואנציגסטעלך (10/20) אבער אויך א האלבע (1/2) דאלער, און אז מ'האט פופציג פעניס האט מען אויך פופציג הונדערטסלעך און א האלבע דאלער. בקיצור, ווי מ'זעט זענען דא אן א שיעור אופנים וויאזוי מ'קען שרייבן א האלבע דאלער:
1/2 = 2/4 = 5/10 און אזוי ווייטער, די אלע זענען איינס אין די זעלבע, כאטש אלע ברענגן ארויס די זעלבע צאל. יעצט, כאטש קיין איין מהלך איז נישט "בעסער" איינס פון אנדערן, איז אבער א גוטע איידיע צו שרייבן דעם פרעקשאן מיט די ווייניגסטע נומבערס וואס מעגליך. וואס איז גרינגער צו פארשטיין: 2/7 (צוויי זיבעטלעך) אדער 12/42 (צוועלף צוויי-און-פערציגסטלעך)? ביידע זענען בעצם די זעלבע צאל (איבערצייגט אייך אליינס, לייגט זיי ביידע אריין אינעם קאלקולעיטאר און זיי וועלן ביידע געבן די זעלבע דעסימעל נומבער) אבער דאס איז 2/7 פיל קלארער. ובכן, ווען איך טרעף מיך מיט א פרעקשאן פון 12/42, וויאזוי רידוס איך עס צו קלענערע נומבערס?
די קונץ איז דאס צו "פעקטארן". וואס הייסט פעקטארען? איז אזוי. אויב ביידע נומבערס קענען ווערן צוטיילט ביי די זעלבע נומבער, צום ביישפיל סיי 8 און סיי 4 קענען ווערן צוטיילט אין 2, איז דער 2 א "פעקטאר" פון 4 און פון 8. צו רידוסן א פרעקשאן דארף מען קענען טרעפן א פעקטאר וועלכע צוטיילט ביידע נומבערס, און דערנאך טאקע צוטיילן די צוויי נומבערס.
צום ביישפיל, לאמיר טאקע זאגן אז מיר האבן 4/8 (פיר אכטלעך) קוקנדיג אויף דעם נומבער קען מען תיכף זען אז ביידע פון זיי קענען צוטיילט ווערן אויף 2. קוקנדיג אביסל טיפער קען מען אויך זען אז ביידע פון זיי קענען צוטיילט ווערן אויף 4. יעצט, אז 'מצוטיילט 4 ביי 4 בלייבט מען מיט איינס, און אז מ'צוטיילט 8 ביי פיר בלייבט מען מיט 2. האבמער יעצט א נייע פרעקשאן פון 1/2. און דער אמת איז אז אפילו ווען מיר צוטיילן דאס בלויז אין 2, וואלטן מיר אויך אין די ענדע אנגעקומען צו 1/2. ווייל 4 דיוויידעד ביי 2 איז 2, 8 דיוויידעד ביי 2 איז 4. האבן מיר א נייע פרעקשאן פון 2/4. אבער די נייע פרעקשאן קען מען אויך צוטיילן ביידע נומבערס ביי 2, און די ריזאלט וועט טאקע זיין 1/2.
און דאס איז דער כלל: אזוי לאנג ווי מ'קען טרעפן די זעלבע פעקטארס אין ביידע נומבערס פונעם פרעקשאן, קען מען דאס רידוסן צו א קלענערע פרעקשאן. און באמת, דאס איז דער סך הכל פון וויאזוי מען לערנט אין חדר צו רידוסן פרעקשאנס.
***
דער פראבלעם מיט דעם כלל איז נאר אז זייער אזאך מאל איז שווער צו וויסן בלויז מיטן קוקן אויפן פרעקשאן אז מ'קען עס צוטיילן. לאמיר זאגן 51/63. קען מען דאס צוטיילן אדער נישט? איך וועל ענק אויסזאגן די סוד אז יא מ'קען. ביידע פון זיי ווערן צוטיילט אין 3, 51 דיוויידעד ביי 3 איז 17 און 63 דיוויידעד ביי 3 איז 21 און די רידוסד פרעקשאן איז 17/21, יעצט איז די שאלה, קען מען דאס נאך מער רידוסן? דער ענטפער איז אז ניין, עס איז אומרידוסבאר. אבער דאס צו וויסן מיט א זיכערקייט וואלט מען געדארפט איבערקוקן עטליכע מאל צו מאכן זיכער.
איז וויאזוי געבט מען זיך אן עצה? די פשוט'ע עצה איז צו טעסטן יעדע נומבער. קודם צו מ'קען עס דיוויידן אין 2 (אויב זענען ביידע נומבערס איווען) און דערנאך צו מ'קען צוטיילן אין 3, און אויב ביידע נומבערס ענדיגן זיך מיט 0 אדער 5 קען מען פרובירן צו צוטיילן אין 5.
אבער בעומק ליגט דא באהאלטן א סוד, און כדי צו פארשטיין די סוד מוז מען מאכן א שטיקל הקדמה:
פריים נומבערס:
יעדע נומבער איז אדער א פריים נומבער, אדער א צונויפשטעל (א קאמפאזיט) פון אנדערע נומבערס. א גוטער משל דערפאר איז אז די פריים נומבערס זענען אזוי ווי ציגל, און די קאמפאזיט נומבער איז נישט בלויז איין ציגל, נאר עס איז א צונויפשטעל פון עטליכע ציגל.
דהיינו: לאמיר נעמען די נומבער 2. 2 איז א פריים נומבער ווייל חוץ 1×2 איז נישטא קיין שום טיימס וואס איך קען מאכן וואס זאל זיין איקוואלס צו 2. די זעלבע איז מיט 3. 3 איז א פריים נומבער, ווייל קיין איין טיימס חוץ 1×3 איז נישט איקוואלס צו 3. וואס איז אבער מיט 4? 4 איז נישט קיין פריים. 4 איז טאקע איקוואלס צו 1×4, עס איז אבער אויך איקוואלס צו 2×2. דאס מיינט אז 4 איז נישט קיין זעלבסשטענדיגער ציגל, נאר עס איז א צונויפשטעל פון צוויי ציגל: א ציגל פון 2 און נאך א ציגל פון 2. לאמיר גיין ווייטער. 5 איז א פריים, אבער 6 איז נישט, ווייל 6 איז א צונויפשטעל פון צוויי ציגל: א 3 און א 2 (ווייל 2×3 איז 6). 7 איז פריים, 8 איז נישט. וועלכע ציגל שטעלן צוזאם 8? דריי ציגלן: א 2, א 2, און 2 (2×2×2 = 8). 9 איז אויך נישט קיין פריים (ווייל עס איז צונויפגעשטעלט פון 3×3). 10 אויך נישט (2×5( אבער 11 יא.
דער מציאות איז אז יעדע נומבער אין די וועלט איז איינס פון צוויי: אדער איז צונויפגעשטעלט פון עטליכע פריימס, אדער איז עס אליינס א פריים. און אגב, פאר אינטערעסאנטקייט: פריים נומבערס קומען שטארק צוניץ אין ענקריפשאן וויבאלד קאמפיוטערס דארפן ארבעטן גאר גאר שווער צו געסן פריימס (מענטשן אויך, אבער דערווייל איז מען נאך נישט אויפגעקומען מיט קיין שום נארמאלע אלגאריטם וויאזוי צו טרעפן פריים נומבערס בעסער ווי טרייען צו דיוויידען יעדע נומבער ביי יעדע נומבער אונטער זיך צו זען צו עס איז פריים צו נישט)
יעצט אט דא איז די סוד: צו זען וויאזוי צו פעקטארן, דארף מען ערשט זען צו די צוויי נומבערס אינעם פרעקשאן זענען פריים אדער קאמפאזיט. אויב זענען זיי קאמפאזיט, דארף מען אויס שרייבן אלע נומבערס - אלע ציגלן - פון וועלכע דער נומבער איז צוזאמגעשטעלט. דער וועג דאס צו טון איז צו צוטיילן דעם נומבער שטיקל ביי שטיקל. מען הייבט אן מיטן ערשטן פריים - 2 - און מ'זעט צו מ'קען עס צוטיילן אין 2. דערנאך גייט מען צו די קומענדיגן פריים, 3, דערנאך 5, דערנאך 7, דערנאך 11, דערנאך 13.
דער קומענדיגער פריים איז 17, אבער רוב פון די נידעריגערע נומבערס וועלן שוין ביי דעם פונקט זיין צוטיילט. יעצט, פארשטייט זיך אז מ'קען אלע פריימס צווישן 1 און 100 אויסעווייניג (און גלייבטס מיר, ס'נישט שווער זיך אינצוחזרן) קען מען גלייך עלימינירן די נומבערס וועלכע זענען פריים
(די נומבערס זענען: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97)
א צווייטע מהלך איז צו מאכן וואס מ'רופט א פריים פעקטארייזעישאן בוים. לאמיר זאגן מיר האבן די נומבער 72. ווער עס קען די מולטיפליקעישאן טעבל ווייסט גלייך אז 72 קען מען צוטיילן אויף 8×9. יעצט 8 זעלבסט קען מען צוטיילן אויף 4×2, און 4 קען מען דערנאך צוטיילן אויף 2×2. די פארבליבענע 9 קען מען צוטיילן אויף 3×3. יעצט האב מיר שוין אלע ציגלן וועלכע שטעלן צונויף דעם געביידע וואס רופט זיך 72. די צייגלן זענען: 2, 2, 2, 3, און 3. פארוואס? ווייל 2×2×2×3×3 = 72
- prime-factorization-tree-for-72 (1).jpg (10.75 KiB) געזעהן געווארן 225 מאל
גוט, דאס איז אלעס סטעפ 1. יעצט אז מיר האבן שוין די פריים פעקארייזעישאן דארפן מיר גיין צו סטעפ 2 אינעם קומענדיגן פארזעצונג.
), גיי צו wolframalpha.com און לייג אריין "factor 63" אדער סיי וועלכע אנדערע נומבערס. ער וועט דיר נישט בלויז געבן די פריים פעקטארס, נאר אויך אלע פעקטארס אין צווישן. צום ביישפיל פאר 63 געט ער 6 פעקטארס: 1, 3, 7, 9, 21, און 63. לאמיר דאס פאר א רגע באטראכטן. 1 און 63 איז דאך פשוט. 3, 7 און 21 האבן מיר דאך געזען אויבן. און די 9 קומט וויבאלד 63 ווערט דאך געפעקטארט צו 3×3×7 וואס איז די זעלבע ווי 9×7.